大气散射模型

原创

1. 理论模型

在雾天拍照时，探测器接收到的光源会被雾干扰，此时的收集到的光源主要来自两部分

• 目标反射光经过粒子衰减到达探测系统的光
• 光源经过粒子散射形成的大气光

数学模型
$$
I(x, \lambda) = e^{-\beta(\lambda)d(x)}R(x, \lambda) + L_{\infty}(1-e^{-\beta(\lambda)d(x)}) = D(x, \lambda) + A(x, \lambda)
$$

• $x$表示像素点的位置，$\lambda$表示光的波长，$L_{\infty}$表示无穷远处的大气光值
• $I(x, \lambda)$：探测系统所获得的雾天图像
• $R(x, \lambda)$：要恢复的无雾图像
• $e^{-\beta(\lambda)d(x)}$：传输函数，也就是真实的目标图将要受到的粒子的影响，物理意义为经过粒子衰减能够达到探测系统的那部分光的比例

在图像处理中，大部分通过探测系统获得含雾图像并对其进行去雾图像处理均以上述公式为理论模型，思路是根据先验知识或者图像处理手段，从图像中估计传输函数$e^{-\beta(\lambda)d(x)}$或者大气光$A(x, \lambda)$，最后将其带入模型中求解目标图$R(x, \lambda)$

引起探测系统成像质量下降的原因

• 目标反射光在传输过程中受到介质中悬浮粒子的吸收和散射作用，导致能量衰减：降低图像亮度，图像对比度下降
• 太阳光、天空光等环境光受到介质中粒子的散射作用形成杂散光：图像模糊，图像色彩不自然

2. 公式推导

1. 平行光

反射光在传播的过程中，随着传输距离的增加光强逐渐衰减，假设光束具有单位横截面积，从$x$位置，每传输一段距离$dx$强度变化为
$$
\frac{dE(x, \lambda)}{E(x, \lambda)} = -\beta(\lambda)dx
$$

• $E(x, \lambda)$表示衰减后的光强
• $\beta(\lambda)$是散射系数，描述介质对不同波长光的散射能力

当输入光为平行光，且未衰减光束光强为$E_{0}(\lambda)$时，对上述微分方程从$x=0\rightarrow x=d$积分，即可得到平行光束在$x=d$处衰减后的光强
$$
E(d, \lambda) = E_{0}(\lambda)e^{-\beta(\lambda)d}
$$
具体计算过程：

$\frac{dE(x, \lambda)}{E(x, \lambda)} = -\beta(\lambda)dx\rightarrow$两边对x积分
$$
\begin{aligned}
\frac{dE(x, \lambda)}{E(x, \lambda)} & = -\beta(\lambda)dx \
\int_{0}^{d} \frac{dE(x, \lambda)}{E(x, \lambda)} & = \int_{0}^{d} -\beta(\lambda)dx \
lnE(x, \lambda)|{x=0}^{x=d} & = -\beta(\lambda)x|{x=0}^{x=d} \
ln\frac{E(d, \lambda)}{E_{0}(\lambda)} & = -\beta(\lambda)d \
E(d, \lambda) &= E_{0}(\lambda)e^{-\beta(\lambda)d}
\end{aligned}
$$

2. 点光源

当输入光为点光源，且未衰减光束光强为$I_{0}$时，对微分方程从$x=0\rightarrow x=d$积分，即可得到点光源在$x=d$处衰减后的光强
$$
E(d, \lambda) = \frac{I_{0}(\lambda)e^{{-\beta(\lambda)d}}{d}{2}} = \frac{L_{\infty}\rho (x)}{d^{2}}e{-\beta(\lambda)d}
$$
探测器接受到的大气光成分主要包括太阳直射光、大气漫反射光和地面反射光。如下图所示，体积微元$dV = dwx^{2}dx$内的介质被看做成一个光源，强度为$dI(x, \lambda) = dVk\beta (\lambda)$，$k$为光源常数。根据点光源的损耗公式，到达探测器后的光强为$dL(x, \lambda) = \frac{dI(x, \lambda)e^{{-\beta(\lambda)x}}{dwx}{2}} = k\beta(\lambda)e^{-\beta(\lambda)x}dx$，在$x=0\rightarrow x=d$进行积分可以得到总的大气光强值$L(d, \lambda) = k(1-e^{-\beta(\lambda)d})$，由于光源来自无穷远处的太空，所以$k$表示无穷远处的大气光强值，令$k = L_{\infty}(\lambda)$，大气光强值表示为
$$
L(d, \lambda) = L_{\infty}(1-e^{-\beta(\lambda)d})
$$
成像总光强为
$$
I(x) = \frac{L_{\infty}\rho(x)}{d^{2}}e{-\rho d(x)} + L_{\infty}(1-e^{-\beta d(x)})
$$
为方便计算，令大气透射率为$t(x) = e^{-\rho d(x)}$，目标反射光为$J(x) = \frac{L_{\infty}\rho(x)}{d^{2}}$，目标衰减反射光为$D(x) = J(x)t$，大气光为$A = L_{\infty}(1-t) = A_{\infty}(1-t)$，最终大气散射模型的数学表达式为
$$
I(x) = D+A = J(x)t(x) + A_{\infty}(1-t(x))
$$

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最后编辑时间为: Nov 20, 2024 11:44 am